Linjär programmering: applikationer, definitioner och problem

Linjär programmering: applikationer, definitioner och problem!

(i) Att utveckla schemaläggning för livsmedelsindustrin och för oljeraffinaderier etc.

ii) I metallindustrin används den för butikslastning och för att bestämma valet mellan att köpa och producera olika delar.

(iii) Det används för att utvärdera olika järnmalm i järn- och stålindustrin.

(iv) Det används för att minska mängden trimförluster i pappersbruk.

(v) Det används för att hitta den optimala routningen av massage i kommunikationsnätverket.

Linjär programmeringsdefinition:

Linjär programmering är ett matematiskt verktyg / teknik för att bestämma de bästa användningarna av en organisations resurser. Linjär programmering är utformad för att hjälpa cheferna när det gäller planering och beslutsfattande. Som ett redskap för beslutsfattande har det visat sitt värde på olika områden som produktion, marknadsfinansiering, forskning och personaluppdrag.

Bestämning av optimal produktmix, transportplaner, portföljval anläggningsplats och arbetsfördelning etc. är de få typerna av problem som kan lösas med hjälp av linjär programmering.

"Analys av problem där en linjär funktion av ett antal variabler ska maximeras (eller minimeras) när dessa variabler är föremål för antal eller begränsningar i form av linjära i jämställdhet", Samuelson och Slow.

Enligt Loomba är "linjär programmering bara en aspekt av vad som kallats ett systeminriktat förhållningssätt till förvaltningen där i alla program utformas och utvärderas i termer av deras ultimata påverkan vid uppnåendet av affärsmål".

Linjära programmeringsproblem-grafisk metod:

Stegen i den grafiska metoden kan sammanfattas enligt följande;

1. Formulera det linjära programmeringsproblemet

2. Rita de givna begränsningslinjerna med tanke på dem som ekvationer

3: Identifiera den genomförbara lösningsregionen från ovanstående diagram

4. Hitta hörnpunkten för den möjliga lösningsregionen.

5. Beräkna värdet på objektfunktionen på hörnpunkterna.

6. Välj nu den punkt där objektivfunktionen har optimalt värde.

Exempel 1:

Efter att ha fullbordat byggandet av hans timmar fann gopalan att 100 kvadratfot av plywoodskrot och 80 kvadratmeter vit tallskrot är i användbar form, som kan användas för konstruktion av bord och bokomslag. Det tar 16 kvadratfot av plywood och 8 kvm, vit vit tall för att göra ett bord, 12 kvadratfot av plywood och 16 kvadratfot vit tall är nödvändiga för att bygga ett bokhylla. Genom att sälja de färdiga produkterna till en lokal återförsäljare kan han uppnå en vinst på Rs. 25 på varje bord och Rs. 20 på varje bokhylla. Hur kan han mest lönsamt använda vänster över träet. Använd grafisk metod för att lösa LLP

Lösning:

Låt oss anta att X ₂ är tabellerna och X ₂ är nej till bokfall så att

För att plotta begränsningen på grafen tillfälligt kommer vi att omvandla ojämlikheterna till ekvation enligt följande:

Varje kombination av värdet av x ₁ och x ₂ som uppfyller sådana begränsningar kallas möjlig lösning. Område OABC i Fig. 15.1 uppfyllt av begränsningen visas av skuggat område och är känt som genomförbar lösning region.

Max Z = 160

x ₁ = 4

x ₂ = 3 ans.

Exempel 2:

Ett möbelproducerande företag tillverkar stolar och bord. Uppgifterna nedan visar de förbrukade resurserna och enhetens vinst. Vidare antas att trä och arbetskraft är de två resurserna som konsumeras vid tillverkning av möbler. Ägaren till företaget vill bestämma hur många stolar och bord som ska göras för att maximera den totala vinsten.

Lösning:

Låt x, var antalet tabeller x2 vara nej. av stolar så att.

För att korta begränsningarna på grafen tillfälligt kommer vi att konvertera ojämlikheterna till ekvationer:

På liknande sätt i ekvation

Varje kombination av värdet på x och som uppfyller den angivna begränsningen är känd som en möjlig lösning. Området OABC 'm Fig. 15.2 uppfyllt av begränsningar visas av skuggat område och är känt som ett genomförbart lösningsområde. Koordinaten av punkten på hörnet av regionen kan erhållas genom att lösa de två ekvationerna av linjerna som skär i punkt B

Därmed Z = 96

x ₁ = 4

x ₂ = 9 ans

Exempel 3:

Ett företag tillverkar två typer av penna, säger A & B. Pen A är en överlägsen kvalitet och 6 är lägre kvalitet. Vinsten på pennor A och B är Rs. 5 respektive Rs.3 per penna. Råmaterial som krävs för varje penna A är dubbelt så som för penna B.

Tillförseln av råmaterial är endast tillräcklig för 1000 pennor av typ B per dag. Penna A kräver ett speciellt klipp och endast 400 sådana klipp är tillgängliga per dag. För penna B är endast 700 klipp tillgängliga per dag. Hitta produktblandningen grafiskt så att företaget kan maximera vinsten.

(Delhi University MBA April 1988)

Lösning:

Låt x ₁ = Antal typ A-pennor

x ₂ = Antal typ B-pennor

Den matematiska formuleringen av problemen är

Genom att konvertera ojämlikheter av ovanstående begränsningar till jämlikhet för att plotta grafen får vi

Genom att plotta ovanstående rader i diagrammet har vi x ₁ x ₂ tillfredsställ alla tre begränsningarna som x ₁ ≥ 0 och x ₂ ≥ 0 så att ovanstående figur 15.3 utgör ODABE som genomförbar region.

De olika poängen utvärderas som under.

Det framgår av ovanstående tabell att maxvärdet är Rs. 2850 vid punkt B

Så x ₁ = 150, x ₂ = 700 och Z = 2850

Exempel 4:

GJ Breveries Ltd. Med två flaskor växter, en lokaliserad vid G och den andra vid J. Varje växt producerar tre drycker-whisky, öl och brandy med namnet A, B och C. Antalet flaskor som produceras per dag är som följer.

En marknad visade att under juli månad kommer det att krävas 20000 flaskor whiskyflaskor, 40000 flaskor öl och 44000 flaskor brandy. Driftskostnaden per dag för växter G och J är 600 och 400 monetära enheter. Hur många dagar ska varje anläggning köras i juli för att minimera produktionskostnaden, samtidigt som marknaden efterfrågar? Lös grafiskt?

Lösning:

Uppgifterna i problemet är följande:

Nu är målet att minimera kostnaden problemet kan presenteras på matematiskt sätt enligt följande.

För att plotta begränsningarna i grafen kan ojämlikheterna i ovanstående begränsningar omvandlas till lika egenskaper som vi får

1500x ₁ + 1500x2 = 20000

3000x ₁ + 1000x2 = 40000

20000x ₁ + 5000x ₂ = 44000

Förenkla ovanstående ekvationer vi har

Lösningen kommer att ligga i den första kvadranten, eftersom varje av dem råkade vara större än eller lika med typbegränsningar så att punkterna (x _v x ₂ ) kommer att ligga i regionen som faller mot höger om var och en av linjerna ritade.

Form ovanstående graf obegränsat lösningsområde är ABC och för att hitta värdet vid B löser vi intersektionsekvationen & samtidigt.

Exempel 5:

Chefen för ett oljeraffinaderi måste bestämma den optimala blandningen av två möjliga blandningsförfaranden, varav ingångarna och produktionen per produktionskörning är följande:

Det högsta tillåtna beloppet för rå A och B är 200 enheter respektive 150 enheter. Marknadsbehovet visar att minst 100 enheter ganolin X och så enheter av bensin Y måste produceras.

Vinsten per produktion som löper från process 1 och process 2 är Rs. 300 och Rs. 400 respektive. Lös LP genom grafisk metod.

(Gujarat University MBA 1989)

Lösning:

Enligt uppgifterna är den matematiska formuleringen av problemen

Max Z = 300x ₁ + 400x2

Med förbehåll för

5x ₁ + 4x2 = ≤ 200

3x ₁ + 5x2 = ≤ 150

5x ₁ + 4x2 = ≥ 100

8x ₁ + 4x2 = ≥ 80

För att kartlägga dessa begränsningar på graf låt oss betrakta dessa i likheter som ekvation så att

Om vi plottar värden på grafen får vi det som visas i figur 15.5.

Lösningen ligger vid ett av hörnpunkterna i lösningsregionen LMN, O, P och för att bestämma det okända värdet, dvs av O löser vi korsningsekvationerna samtidigt

Exempel 6:

Ett företag tillverkar produkt x och y har en totalproduktion med en kapacitet på 9 ton. Per dag x & y kräver samma produktionskapacitet. Företagen har ett permanent kontrakt för att leverera minst 2 ton x och minst 3 ton per dag till ett annat företag. Varje ton x kräver 20 maskintimmar produktionstid och varje ton y kräver 50 maskintimmar produktionstid.

Det dagliga maximala antalet maskintimmar är 360. Allt företagets produktion kan säljas och vinsten är Rs. 80 per ton x och Rs. 120 per ton y. Det är nödvändigt att bestämma produktionsschemat för maximal vinst och att beräkna produktionsschemat för maximal vinst och att beräkna vinsten.

(Delhi universitet MBA april 1983)

Lösning:

Den angivna LP kan skrivas matematiskt enligt följande:

Låt ojämlikheterna behandlas som ekvationer för att kartlägga ovanstående värden på graf enligt följande:

Låt oss plotta dessa ekvationer i diagrammet som visas i figur 15.6.

Ur diagrammet är det klart att EFGH är lösningsområdet och lösningen ligger vid EFGH: s hörnpunkt.

Värdet vid inspektion på

E = (2, 3)

F = (6, 3)

För punkt "Värdet kan beräknas med samtidiga ekvationer för linjens interinställning vid H. dvs

20x ₁ + 50x2 = 360

x ₁ = 2

x2 = 320/50 = 6, 4

Liksom klok i punkt G som är korsning av ekvationer

20x ₁ + 50x ₂ = 360 ... (1)

x ₁ + x ₂ = 9 ... (2)

Att lösa dessa ekvationer får vi

x ₁ = 3, x ₂ = 6

Den maximala vinsten är i punkt G. Därför.

x ₁ = 3

x ₂ = 6

Z = 960 Ans.

Exempel 7:

Standardvikten på en specialformad tegelsten är 5 kg och innehåller två grundläggande ingredienser 6 ₁ och S ₂ kostar Rs. 5 per kg och S ₂ kostar Rs. 8 per kg.

Kraftövervägning dikterar att tegelstenen innehåller högst 4 kg S och minst 2 kg S ₂ eftersom efterfrågan på produkten sannolikt kommer att vara relaterad till tegelpriset, reda grafiskt minimikostnaden för tegel som uppfyller ovanstående betingelser.

(ICWA juni 1982)

Lösning:

Den givna data kan ges den matematiska formen enligt följande:

Om vi behandlar ojämlikheterna av begränsningar för närvarande som ekvation så att ekvationen kan plottas på graf vi fick.

Nu plottar vi dessa värden på grafen.

Eftersom ett av begränsningarna är jämlikhet x ₁ + x ₂ = 5. Det finns ingen lösning, snarare en lösningspunkt som uppfyller alla förhållanden, dvs punkt S (3, 2)

Z = 31

x ₁ = -3

x ₂ = 2 ar

Exempel 8:

Lös grafiskt följande linjära programmeringsproblem.

Lösning:

För att teckna grafen som omvandlar ojämlikheterna för de givna begränsningarna till jämställdhet får vi

Nu kartlägger ovanstående linjer på grafen som visas i figur 15.8 Den möjliga lösningsregionen som är tvärgående och avgränsas av ABCDE. Värdet på Z vid olika punkter är som följer.

Punkt A linjerna skärande är

2x ₁ - x ₂ = -2

2x ₁ + 3x2 = 12

Att lösa dem samtidigt får vi

x ₁ = 0, 75

x ₂ = 3, 5

Vid punkt B är linjerna korsande

2x ₁ - x ₂ = -2

-3x ₁ + 4x2 = 12

Att lösa dessa ekvationer får vi koordinater för B som

x ₁ = 0, 8

x ₂ = 3, 6