Central tendens: Betydelse, användningar och åtgärder

Central tendens: Betydelse, användningar och åtgärder!

Betydelse av central tendens:

Åtgärder av central tendens är en kombination av två ord, dvs "mått" och "central tendens". Mått betyder metoder och central tendens betyder medelvärdet av en statistisk serie. Således kan vi säga att den centrala tendensen innebär metoderna för att ta reda på det centrala värdet eller medelvärdet för en statistisk serie kvantitativ information.

JP Guilford har påpekat att "ett genomsnitt är ett centralt värde för en grupp observationer eller individer."

Enligt Clark "Average är ett försök att hitta en enda siffra för att beskriva hela figuren."

Med AE Waughs ord är ett medelvärde valt från en grupp av värden för att representera dem på samma sätt-ett värde som ska stå för hela gruppen som det är en del som typiskt för alla värden i gruppen."

Således kan man säga att en genomsnittlig eller central tendens är en enda siffra som beräknas från en given fördelning för att ge en central idé om hela serien. Medelvärdet ligger inom maximi- och minimivärdet i serien.

Användning av central tendens:

Den centrala tendensen är nödvändig av följande skäl:

1. Genomsnitt ger den övergripande bilden av serien. Vi kan inte komma ihåg alla fakta som rör ett undersökningsområde.

2. Medelvärdet ger en tydlig bild om fältet som studeras för vägledning och nödvändig slutsats.

3. Det ger en kortfattad beskrivning av gruppens prestanda som helhet och det gör att vi kan jämföra två eller flera grupper när det gäller typiska prestanda.

Centralmått:

Det finns tre åtgärder av central tendens, till exempel:

(1) Den aritmetiska medelvärdet.

(2) Medianen och

(3) läget.

(1) medelvärdet (M):

För en vanlig man betyder medelvärdet det aritmetiska medelvärdet. Det används mest populärt på grund av dess enkelhet, styvhet etc.

Ett aritmetiskt medelvärde definieras som "kvoten erhållen genom att dividera summan av värdena för en variabel med det totala antalet av deras observationer eller poster."

II.E. Garett (1985 P) definierar "Den aritmetiska medelvärdet eller mer helt enkelt medelvärdet är summan av de separata poängen eller åtgärderna dividerat med deras antal."

Metoder för beräkningsmetod:

Det finns flera metoder för att beräkna medelvärdet. Men här diskuterar vi bara två metoder.

De är som följer:

1. Direkt metod eller lång metod.

2. Kort metod eller antagen medel metod.

1. Direkt metod eller lång metod:

I denna metod beräknas medelvärdet direkt från den givna serien. I den här metoden kan vi beräkna medelvärdet från ogrupperade data och formeln för beräkning av medelvärde från ogrupperade data.

Formeln för beräkning av medelvärdet från icke-grupperade data är:

Från den grupperade data beräknas medelvärdet med följande formel:

Illustration:

Beräkna medelvärdet från följande frekvensfördelningar med direkt metod:

2. Kort metod eller antagen metod:

Det är känt som antagna medelvärde eftersom istället för att beräkna medelvärdet från mittpunkterna antas det att det är medelvärdet att ta reda på medelvärdet. Först gissar vi eller antar ett medelvärde och då tillämpar vi en korrigering till detta antagna värde för att hitta exakt värde.

Formeln för att ta reda på medelvärdet i den antagna genomsnittliga metoden ges nedan:

Nedan diskuteras stegen för att beräkna medelvärdet i den korta metoden:

Steg 1:

Antag vilken som helst mittpunkt för fördelningen som medelvärde. Men den bästa planen är att ta mittpunkten av ett intervall nära mitten som har den största frekvensen.

Steg 2:

Ta reda på x-kolumnen, x 'är avvikelsen mellan poängen och det antagna genomsnittet.

Här kan vi ta reda på x 'med hjälp av följande formel:

Steg 3:

Ta reda på fx kolumnen. Det är möjligt att multiplicera f-kolumnen med x-kolumnen.

Steg-4:

Ta reda på Σ f x. Lägg till alla positiva värden och negativa värden separat. Ta reda på det algebraiska summan som är Σ f x.

Steg-5:

Ta reda på medelvärdet genom att använda formel 9.4.

Illustration:

Ta reda på medelvärdet av fördelningen i antagen medelvärde.

I ett matematiskt prov har de 50 eleverna presterats i följande fördelning:

Här har vi tagit 44, 5 mittpunkten Ci 40-49 som antagits medelvärdet. Nu kan vi få reda på att det är medelvärdet med formel-8.4.

Kombinerade medelvärde:

Separata medel för ett antal olika serier kan producera det kombinerade aritmetiska medelvärdet av alla olika serier när antalet objekt i var och en av dessa serier ges. Detta beräknas med följande formel när antalet grupper är n.

Illustration:

Nedan ges medelvärdet av VI klassstudenter på 4 skolor. Vad är medelvärdet av VI klassstudenter i allmänhet.

Vi kan ta fram kombinerat medelvärde genom att använda formel 9.5:

Så medelvärdet av alla VI-klassstudenter är 55.25.

Användning av medel:

Det finns vissa allmänna regler för användning av medelvärden. Några av dessa användningsområden är följande:

1. Medel är tyngdpunkten i fördelningen och varje poäng bidrar till bestämningen av det när spridningen av poängen är symmetriskt kring en central punkt.

2. Medel är stabilare än median och mode. Så att medelvärdet av den centrala tendensen som har den största stabiliteten är önskad, är använd.

3. Medel används för att beräkna annan statistik som SD, korrelationskoefficient, ANOVA, ANCOVA etc.

Förtjänster:

1. Medel är strikt definierad så att det inte finns någon fråga om missförstånd om dess mening och natur.

2. Det är den mest populära centrala tendensen som det är lätt att förstå.

3. Det är lätt att beräkna.

4. Det inkluderar alla poäng av en distribution.

5. Det påverkas inte av provtagning så att resultatet är tillförlitligt.

6. Medel kan förmå ytterligare algebraisk behandling så att annan annan statistik som dispersion, korrelation, skevhet kräver medelvärde för beräkning.

Medelvärden:

1. Medel påverkas av extrema poäng.

2. Ibland är medelvärdet ett värde som inte finns i serien.

3. Ibland ger det absurda värden. Till exempel finns det 41, 44 och 42 elever i klass VIII, IX och X i en skola. Så genomsnittliga studenter per klass är 42.33. Det är aldrig möjligt.

4. Vid klassrumsintervaller med öppen avslutning kan den inte beräknas utan att storleken på de öppna slutklassen antas.

(2) Median:

Median är ett annat mått på central tendens. Det är ett positionsmedelvärde eftersom dess värde bestäms med hänvisning till dess position i värdet kolumnen i en serie. I Collins Dictionary of Statistics definieras det som "mittenvärdet i en distribution, under och däröver som ligger värden med lika totala frekvenser eller sannolikheter".

D. Patri (1996) definierar median "som värdet av mellannementet i en serie anordnad i stigande eller nedåtgående ordning. Som sådan delar den en serie i två lika delar. "

Median kan definieras som en punkt på fördelningen nedan vilken femtio procent fall och över vilka femtio procent fall ligger.

Beräkning av median från oöppnade data:

I händelse av ogrupperade data sorteras poängen i storleksordning. Då är mittpunkten utredd, vilken är medianen. I denna process uppstår två situationer vid beräkning av median, (a) N är udda (b) N är jämn Först ska vi diskutera hur man beräknar median (Mdn) när N är udda.

Illustration:

I en klass 9 har eleverna fått följande betyg i ett ordförrådstest. Ta reda på medianen.

Marks-6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9

I ogrupperade data

Låt oss diskutera hur man beräknar Mdn när N är jämn.

Illustration:

Beräkna Mdn av följande data på 10 studenter av ett stavtest på engelska.

Markeringar = 7, 6, 8, 12, 7, 9, 11, 10, 13, 14

För att lösa problemet måste vi ordna i storleksordning

6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

Nu börjar vi använda formel 8.6;

Beräkning av median från grupperade data:

Vi vet att medianen är en punkt som fördelar fördelningen i två lika stora halvor.

Formeln för att ta reda på median från grupperade data läser som följer:

Där L = Nedre gränsen för medianklassen.

Median klass är den klass vars kumulativa frekvens är större än värdet av N / 2 dvs N / 2> cf (kumulativ frekvens)

N / 2 = Halvdelen av det totala antalet poäng.

F = Kumulativ frekvens av klassen internt under medianklassen.

fm = Medianklassens frekvens.

I = Storleken på klassens internaler.

Steg för att beräkna mdn från grupperade data:

Steg 1.

Beräkna N / 2 dvs 50% av fördelningen.

Steg 2:

Beräkna kumulativ frekvens av fördelningen från nedre änden.

Steg 3:

Ta reda på mdn-klassen. Den kumulativa frekvensen av klassintervallet där N / 2> cf

Steg-4:

Ta reda på F den kumulativa frekvensen under mdn-klassen.

Steg-5:

Ta reda på f _m . och sätta alla värden i formel.

Illustration:

Ta reda på distributionens median.

Nedan ges poängen av 40 studenter i ett matematiskt prov:

L = 59, 5. Eftersom N / 2 ie 20 ingår i den kumulativa frekvensen av klassintervallet 60-61 och de exakta gränserna för Ci = 59, 5-61, 5.

F = 17. Den kumulativa frekvensen under mdn-klassen.

fm = 7. Den exakta frekvensen av mdn-klassen.

i = 2. Storlek på klassintervallet.

Nu sätter värdet in i formeln

Mdn av fördelningen är 60, 63.

Mdn kan också beräknas från distributionens övre gräns. Formeln för att ta reda på mdn genom att ta övre gränser läser så här.

Där U = Den övre gränsen för Mdn-klassen.

F ₁ = Kumulativ frekvens för klassintervallet ovanför Mdn-klassen.

fm = Medianklassens frekvens.

i = Klassintervallets storlek.

Steg:

Vid beräkning av Mdn från övre gräns är den enda skillnaden att vi måste beräkna kumulativ frekvens från övre änden.

Illustration:

U = 61, 5. Eftersom den kumulativa frekvensen 23 innefattar N / 2 dvs 20.

F = 16. Kumulativ frekvens för klassintervallet ovanför Mdn-klassen.

fm = 7 frekvens av median klassen.

i = 2

Mdn är 60, 36.

Det finns också några exceptionella fall av datormedian. Det här är när frekvensfördelningen innehåller luckor och när klassintervallet är öppet slut. Först av allt ska vi diskutera när det finns luckor i frekvensfördelning.

När det finns konsekutiva 0 frekvenser på klassintervallen där Mdn ligger svårigheten uppstår att hitta Mdn-klassen. I detta fall lägger vi till 0 frekvensintervallen till ovanstående och under klassintervall.

Följande illustration förklarar processen tydligt:

Illustration:

Ta reda på Mdn i följande serie:

L = 49, 5. Den lägre gränsen för Ci där Ci är större än N / 2.

F = 4 Cf av Ci under Mdn-klassen

f m = 2. Mdn-klassens frekvens.

i = 10. Storleken på Ci

Att ange värdena i formel 8.7.

Så fördelningen av Mdn är 57.

Den andra situationen är att när det finns öppna slutintervaller i båda ändarna. I det här fallet kan de öppna ändarna hållas öppna eller det kan omvandlas till specifika klasser. En illustration ges nedan.

Illustration:

30 studenter har säkrat följande betyg i ett matematiskt prov. 4 studenter har säkrat under 10 poäng. 6 studenter har säkrat poäng mellan 10-20, 10 studenter mellan 20-30, 8 studenter mellan 30-40, 7 studenter mellan 40-50 och 3 studenter över 50. Ta reda på Mdn.

L = 19, 5. Nedre gränsen för Mdn-klassen, dvs 20-30.

F = 10. Cf av Ci under Mdn-klassen.

fm = 10

i = 10

Så Mdn av fördelningen är 28, 5.

Användningar av median:

1. Median används när distansens exakta mittpunkt är nödvändig eller 50% -punkten önskas.

2. När extrema poäng påverkar medelvärdet vid den tiden är median den bästa måtten på central tendens.

3. Median används när det krävs att vissa poäng ska påverka den centrala tendensen, men allt som är känt om dem är att de ligger över eller under medianen.

4. Median används när klasserna är öppna slutade eller det har un lika stor cellstorlek.

Meriter av median:

1. Det är lätt att beräkna och förstå.

2. Alla observationer är inte nödvändiga för beräkningen.

3. Extrema poäng påverkar inte medianen.

4. Det kan bestämmas av öppna serier.

5. Det kan bestämmas utifrån ojämna klassintervaller.

Demerits of Median:

1. Det är inte strikt definierat som medelvärde eftersom dess värde inte kan beräknas men placeras.

2. Det innehåller inte alla observationer.

3. Det kan inte behandlas vidare algebraiskt som medelvärdet.

4. Det kräver arrangemang av poäng eller klassintervaller i stigande eller nedåtgående ordning.

5. Ibland producerar det ett värde som inte finns i serien.

(3) läge:

Läget är de vanligaste resultaten i en distribution. Som ett medel representerar det det mest typiska värdet av en serie som nästan sammanfaller med befintliga objekt. Det påverkas aldrig av extrema poäng men av extrema frekvenser av värdena. För att bestämma läget finns olika metoder.

Några av de viktiga metoderna diskuteras nedan:

Metoder för att bestämma läge:

1. Inspektionsmetod

2. Grupperingsmetod

3. Empirisk relation Metod

1. Inspektionsmetod:

I denna metod bestäms läget bara genom observation. Här bestäms läget genom att observera det oftast förekommande värdet eller klassintervallet mot vilket maxfrekvensstativet tas som modalklassen. När två sådana värden eller klassintervaller har samma förekomst eller frekvens, tas både poängen eller klassintervallen som mode. ' Och distributionen kallas som en bi-modal distribution. Om mer än två sådana värden eller klassintervall finns finns det allierat som en multimodal distribution.

2. Grupperingsmetod:

När värdesskillnaden mellan högsta frekvens och nästa högsta frekvens är mycket låg då är det inte säkert att bestämma läget i inspektionsmetoden. I sådana tvivelaktiga fall användes grupperingsmetod.

I denna metod beredas först en grupptabell eller ett uttalande om gruppering av frekvenserna. I detta uttalande sätta värdena eller klasserna av värden i vänster kolumn och deras motsvarande frekvenser i nästa kolumn. I nästa kolumn (2) grupperar frekvenserna i två sekunder från den första frekvensen. Sedan i den tredje kolumnen grupperar frekvenserna i två sekunder från 2: a frekvensen. I nästa kolumn grupperar frekvenserna i tre år från 1: a frekvensen.

I nästa kolumn grupperar frekvenserna i tre år från 2: a frekvensen. I den sista kolumnen grupperas frekvenserna i tre år från 3: e frekvensen. När grupperingen är över identifieras maximalsiffran (-erna) för var och en av de 6 kolumnerna genom att sätta en cirkel.

Nästa steg är att förbereda en analystabell för att hitta modalvärdet eller modalklassen. I denna tabell presenteras sannolika modala värden i den översta horisontella linjen under de olika kolumnerna och de olika kolonnnumren kommer att läggas till vänster på bordet.

Värdena som visar maxgrupperade frekvenser i grupptabellen identifieras med ett märke mot respektive kolumn. Antalet sådana märken som sätts under de sannolika värdekolumnerna kommer att summeras längst ner i denna tabell. Det sannolika värdet som visar maximal sådan total kommer att identifieras som modalvärdet för modalklassen, beroende på vad som är fallet.

Följande illustration kommer att ge en bättre förståelse:

Illustration:

Ovanstående analystabell visar att runt poängen 60, maximala kluster dvs totalt 4. Så här är 60 det modala värdet.

När data finns i kontinuerlig serie kan vi beräkna läget genom att använda följande formel:

Var M ₀ = Läge

L ₀ = Nedre gränsen för modalklassen

f ₂ = frekvens av klassens efterföljande modalklass.

f ₀ = frekvensen av klassen före modalklassen.

i = Storlek på klassintervallet.

Illustration:

Från följande data bestämma läget:

Lösning:

Här innehåller klassintervall 20-25 högsta frekvens. Så att det kan betraktas som modalklassen

Här:

3. Empirisk relation Metod:

Detta är den mest effektiva metoden för att bestämma läge. Prof Karl Pearson har förutsett denna metod. Prof Pearson har funnit att i en måttligt asymmetrisk eller sned serie finns ett relevant samband mellan medel, median och mode. I sådana serier är avståndet mellan medelvärdet och medianen 1/3 av avståndet mellan medelvärdet och läget.

Illustration:

Ta reda på läget från fördelningen som anges ovan.

Lösning:

Medelvärdet av fördelningen är 25, 94

Distributionsmedianen är 23, 83

M ₀ = 3 Median-2 medelvärde

M ^ = 3 X 23, 83-2 x 25, 94

= 71, 49-51, 88

= 19, 61 (Ca.

Användning av läge:

Läget används:

(i) När vi vill ha en snabb och ungefärlig åtgärd av central tendens.

(ii) När vi vill ha en mått av central tendens som borde vara typiskt värde. Till exempel när vi vill veta den typiska klädstilen på indiska kvinnor, dvs den mest populära klädstilen. På så sätt kallas medelvärdena för en klass som modalmärken.

Meriter av Mode:

1. Mode ger det mest representativa värdet av en serie.

2. Läget påverkas inte av några extrema poäng som medelvärdet.

3. Det kan bestämmas från ett öppet klassintervall.

4. Det hjälper till att analysera kvalitativa data.

5. Läge kan också bestämmas grafiskt genom histogram eller frekvenspolygon.

6. Läget är lätt att förstå.

svagheter:

1. Läge är inte definierat rigid som medelvärde. I vissa fall kan det komma ut med olika resultat.

2. Det inkluderar inte alla observationer av en distribution utan på koncentrationen av frekvenserna av föremålen.

3. Ytterligare algebraisk behandling kan inte göras med mode som medelvärde.

4. I multimodala och bimodala fall är det svårt att bestämma.