Normal sannolikhetskurva: Beräkning, egenskaper och tillämpningar

Läs den här artikeln för att lära dig mer om beräkning, egenskaper och tillämpningar av normal sannolikhetskurva i statistiken.

Beräkning av normal sannolikhetskurva:

Om ett mynt kastas opartiskt kommer det att falla antingen huvudet (H) eller svansen (T). Detta är sannolikheten för att ett huvud uppträder en chans i två. Så sannolikhetsförhållandet för H är ½ och T är ½.

På samma sätt ska vi kasta två mynt, mynt x och mynt y det finns fyra möjliga sätt att falla.

Således är de fyra möjliga sätten-både x och y kan falla H, x kan falla T och y H, x kan falla H och yT eller båda kan falla T.

Uttryckt i förhållande

Sannolikhet för två huvuden = ¼

Sannolikheten för två svansar = ¼

Sannolikheten för en H och en T = ¼

Sannolikheten för en T och en H = ¼

Således är förhållandet ¼ + ½ + ¼ = 1.00

Det förväntade utseendet på huvuden och svansarna på två mynt kan uttryckas som:

(H + T) ² = H2 + 2HT + T2

Om vi ​​ska öka antalet mynt till tre dvs x, y och z, kan det finnas åtta möjliga arrangemang.

Det förväntade utseendet på huvuden och svansarna av mynt kan uttryckas som:

På så sätt kan vi bestämma sannolikheten för olika kombinationer av huvuden och svansar av valfritt antal mynt. Vi kan få sannolikheten för ett antal mynt genom binomial expansion. Ett uttryck som innehåller två termer kallas ett binomialuttryck. Binomialteorem är en algebraisk formel som expanderar kraften i ett binomialt uttryck i form av en serie.

Formeln läser så här:

(H + T) ⁿ = C (n, 0) H ⁿ + C (n, 1) H ^n-1 T + C (n, 2) H ^{( n-2)} T ² ....

... + C (n, r) H ^nr T ^r + .... + C (n, n) T ⁿ ... (11, 1)

Där C = möjliga kombinationer.

C (n, r) = n! / R! (n - r)!

n! betyder 1 x 2 x 3 x .... xn

n = Totalt antal observationer eller personer.

r = Antal observationer eller personer som tagits i taget.

Således binomial expansion av

Om ovanstående data ritas på ett diagram som histogram och frekvenspolygon kommer det att vara enligt nedan (fig 11.1)

Siffran som vi erhållit från kasta med 10 mynt (H + T) ¹⁰ är sålunda en symmetrisk mångasidig polygon.

Och om vi ska fortsätta öka antalet mynt, med varje ökning skulle polygonen uppvisa en perfekt jämn yta enligt figur 11.2 nedan:

Denna klockformade kurva kallas som "Normal Sannolikhetskurva". Sålunda är grafen för sannolikhetstäthetsfunktionen för den normala fördelningen en kontinuerlig klockformad kurva, symmetrisk om medelvärdet " kallas normal sannolikhetskurva.

I statistiken är det viktigt eftersom:

(a) Det är fördelningen av många naturligt förekommande variabler, såsom intelligens av 8: e klassstudenter, höjden på 10: e klassstudenter etc.

b) Fördelningen av provet från de flesta moderpopulationer är normalt eller ungefär så när proverna är tillräckligt stora.

Därför har normal kurva stor betydelse för samhällsvetenskap och beteendevetenskap. Vid beteendemätning approximerar de flesta aspekterna till den normala fördelningen. Så att normal sannolikhetskurva eller mest populärt känd som NPC används som referenskurva. För att förstå NPCs nytta måste vi förstå egenskaperna hos NPC.

Egenskaper för normal sannolikhetskurva:

Några av de viktigaste egenskaperna hos normal sannolikhetskurva är följande:

1. Kurvan är bilateralt symmetrisk.

Kurvan är symmetrisk mot sin ordinat av kurvens centrala punkt. Det betyder att kurvets storlek, form och lutning på ena sidan av kurvan är identisk med kurvans andra sida. Om kurvan är bisected så passar dess högra sida helt till vänster sida.

2. Kurvan är asymptotisk:

Normal Sannolikhetskurvan närmar sig den horisontella axeln och sträcker sig från -∞ till + ∞. Medverkar de extrema ändarna av kurvan tenderar att röra baslinjen men aldrig röra den.

Den är avbildad i figur (11.3) nedan:

3. Medel, Median och Mode:

Medelvärdet, Median och läge faller i mittenpunkten och de är numeriskt lika.

4. Böjningspunkterna uppträder vid ± 1 Standardavvikelseenhet:

Inflödespunkterna i en NPC uppträder vid ± 1σ till enheten över och under medelvärdet. Således ändras kurvan från konvex till konkav i förhållande till horisontalaxeln vid denna punkt.

5. Den totala ytan av NPC är uppdelad i ± standardavvikelser:

Summan av NPC är indelad i sex standardavvikelseenheter. Från centrum är det uppdelat i tre + ve standardavvikelser och tre-ve standardavvikelser.

Sålunda ± 3σ av NPC inkluderar olika antal fall separat. Mellan ± 1σ ligger de mellersta 2/3 fallen eller 68.26%, mellan ± 2σ ligger 95, 44% fall och mellan ± 3σ ligger 99, 73% fall och bortom + 3σ bara 0, 37% fall faller.

6. Y-ordinaten representerar höjden för den normala sannolikhetskurvan:

Y-koordinaten för NPC representerar kurvens höjd. I mitten sker maximal ordinat. Kurvens höjd i mitten eller mittpunkten betecknas som Y ₀ .

För att bestämma kurvens höjd vid vilken tidpunkt som helst använder vi följande formel:

7. Det är unimodalt:

Kurvan har endast en toppunkt. Eftersom maxfrekvensen endast uppträder vid en punkt.

8. Kurvens höjd minskar symmetriskt:

Kurvens höjd minskar både riktningen symmetriskt från centralpunkten. Betecknar M + σ och M - σ är lika om avståndet från medelvärdet är lika.

9. Medelvärdet för NPC är μ och standardavvikelsen är σ:

Som medelvärdet för NPC representerar populationen så att den representeras av μ (Meu). Kurvens standardavvikelse representeras av den grekiska bokstaven, σ.

10. I normal sannolikhetskurva är standardavvikelsen 50% större än Q:

I NPC kallas Q generellt det sannolika felet eller PE.

Förhållandet mellan PE och a kan anges som följer:

1 PE = .6745σ

1σ = 1, 4826PE.

11. Q kan användas som en måttenhet vid bestämning av området inom en given del:

12. Den genomsnittliga avvikelsen för medelvärdet av NPC är .798σ:

Det finns en konstant relation mellan standardavvikelse och genomsnittlig avvikelse i en NPC.

13. Modellordinaten varierar alltmer till standardavvikelsen:

I en normal sannolikhetskurva varierar modalordinaten alltmer till standardavvikelsen. Standardavvikelsen för Normal Sannolikhetskurvan ökar, modalordinaten minskar och vice versa.

Tillämpningar av normal sannolikhetskurva:

Några av de viktigaste användningarna av normal sannolikhetskurva är följande:

Principerna för normal sannolikhetskurva tillämpas i beteendevetenskap på många olika områden.

1. NPC används för att bestämma procentandelen fall i en normal fördelning inom givna gränser:

Den normala sannolikhetskurvan hjälper oss att bestämma:

jag. Vilken procent av fallen faller mellan två poäng av en fördelning.

ii. Vilken procent av poängen ligger över ett visst poäng av en fördelning.

III. Vilken procent av poängen ligger under ett visst poäng av en fördelning.

Exempel:

Med en fördelning av poäng med ett medelvärde av 24 och σ av 8. Antag normalitet vilken procentandel av fallen kommer att falla mellan 16 och 32.

Lösning:

Här måste vi först och främst konvertera både poäng 16 och 32 till ett standardpoäng.

Inmatning i tabell-A, tabellområdet under NPC, är att 34.13 fall faller mellan medelvärdena och - 1σ och 34.13 fallen faller mellan medelvärdet och + 1σ. Så ± σ täcker 68, 26% av fallen. Så att 68, 25% fall kommer att falla mellan 16 och 32.

Exempel:

Givet en fördelning av poäng med ett medelvärde av 40 och σ av 8. Antag normalitet vilken procentandel av fallen ligger ovanför och under poängen 36.

Lösning:

Först av allt måste vi konvertera råpoäng 36 till standardpoäng.

Inmatning i tabell-A, tabellområdet under NPC konstaterar att 19, 15% faller mellan Mean och -.5σ. Därför är den totala andelen fall över poängen 36 50 + 19, 15 = 69, 15% och under poängen 36 är 50-19, 15 = 30, 85%. Så i distributionen är 69, 15% fall över poängen 36 och 30, 85% poäng är under poängen 36.

2. NPC används för att bestämma värdet på en poäng vars procentilstånd ges:

Genom att använda NPC-bordet kan vi bestämma individens råpoäng om percentil rankningen ges.

Exempel:

I en fördelning av poäng av en doss Pinkys procentilställning i statistik är 65. Medelvärdet av fördelningen är 55 med en standardavvikelse på 10. Hitta men Rawy poäng i Pinky i Statistik.

Lösning:

Eftersom Pinkys procentilstånd är 65 så är hon i en normal fördelning 35% över medelvärdet. Genom att ange in i bordet "A" fann vi att 35% från medelvärdet är + 1, 04 σ.

Genom att sätta värdet i "Z" -poäng.

3. NPC används för att hitta gränserna i en normal fördelning som inkluderar en given procentandel av fallen:

När en distribution normalt distribueras och vad vi vet om fördelningen är Mean och Standardavvikelsen vid den tiden genom att använda tabellområdet under NPC kan vi bestämma gränserna som inkluderar en viss procentandel av fallen.

Exempel:

Givet en fördelning av poäng med ett medelvärde av 20 och σ av 5. Om vi ​​antar normalitet, vilka gränser kommer att inkludera de mitten av 75% av fallen.

Lösning:

I en normal fördelning inkluderar de mitten av 75% fallen 37, 5% fall över de genomsnittliga och 37, 5% fallen under medelvärdet. Från tabell-A kan vi säga att 37, 5% fall täcker 1, 15 σ enheter. Därför ligger de mellersta 75% fallen mellan medelvärden och ± 1, 15 σ enheter.

Så i denna distribution kommer mitten av 75% att inkludera gränserna 14, 25 till 25, 75.

4. Det används för att jämföra två fördelningar i termer av överlappning:

Om poäng av två grupper på en viss variabel distribueras normalt. Det vi vet om gruppen är medel- och standardavvikelsen för båda grupperna. Och vi vill veta hur mycket den första gruppen överlappar den andra gruppen eller vice versa vid den tiden, vi kan bestämma detta genom att använda tabellområdet under NPC.

5. NPC hjälper oss att dela en grupp i undergrupper enligt viss förmåga och tilldela betyg:

När vi vill dela en stor grupp i vissa undergrupper enligt en viss specificerad förmåga vid den tiden använder vi standardavvikelsenheterna i en NPC som skalfördelar.

Exempel:

Ett prestationstest administrerades till studenterna i 600 åttonde klass. Läraren vill tilldela dessa studenter till 4 betyg, nämligen A, B, C och D enligt deras prestanda i testet. Om man antar normaliteten av fördelningen av poäng beräknas kan antalet studenter placeras i varje grupp.

Lösning:

Området under en NPC är uppdelad i ± 3σ-enheter eller 6σ-enheter.

Här måste vi dela in eleverna i 4 avsnitt.

Så varje avsnitt har

Så om vi ska fördela sektionen i enlighet med meriter.

Sektionen A kommer att ligga inom 1, 5σ till 3σ

Avsnitt B kommer att ligga inom Mean to 1.5σ

Avsnitt C kommer att ligga inom Mean to -1.5σ

och avsnitt D kommer att vara med i -1, 5σ till - 3σ.

6. NPC hjälper till att bestämma den relativa svårigheten hos testartiklar eller problem:

När det är känt att vilken procentandel av studenter som framgångsrikt löst ett problem kan vi bestämma svårighetsgraden för objektet eller problemet genom att använda tabellområdet under NPC.

7. NPC är användbar för att normalisera en frekvensfördelning:

För att normalisera en frekvensfördelning använder vi Normal Probability Curve. För processen att standardisera ett psykologiskt test är denna process väldigt mycket nödvändig.

8. För att testa betydelsen av observationer av experiment använder vi NPC:

I ett experiment testar vi förhållandet mellan variabler om dessa beror på chansfluktuationer eller fel i provtagningsförfarandet eller det är verkligt förhållande. Detta görs med hjälp av tabellområdet under NPC.

9. NPC används för att generalisera om populationen ur provet:

Vi beräknar standardfel med medelvärde, standardfel av standardavvikelse och annan statistik för att generalisera om den population från vilken provet dras. För denna beräkning använder vi tabellområdet under NPC.